مقاله طرح مسأله و کاربردهای ریاضی در حل مسأله

طرح مسأله و کاربردهای ریاضی در حل مسأله

چکیده

ریاضیات به عنوان یک درس اصلی است که داشتن درک درست از آن در آینده ی تحصیلی دانش آموزان و دانشجویان و طبعاً پیشرفت علمی کشور نقش مهمی دارد . در سال های اخیر تلاش متخصصان آموزش ریاضی براین بوده که ریاضیات از علمی برای نخبگان به علمی برای همگان مبدل شود. برای بکار بردن مفاهیم دنیای واقعی، فرد باید به خوبی آن ها را

فهمیده و درک کرده باشد. روش هایی که به یادگیری بهتر و ایجادعلاقه و انگیزه در دانش آموزان و دانشجویان کمک می کنند توانایی طرح مسئله و کاربرد های ریاضی در سایر علوم می باشند. بیش از یک دهه که مطالعات آموزش ریاضی برروی حل مسئله متمرکز شده بود محققان به تدریج پی بردند که ترکیب فعالیتهای طرح مسئله ریاضی در موقعیتهای مختلف می تواند یک روش قدرتمند برای توسعه تفکر ریاضی دانش آموزان و دانشجویان باشد (سیلور و همکاران (۱۹۹۰ و همچنین دربرنامه درسی و آموزشی، برقراری پیوند ریاضیات با کاربردهایش در زندگی و سایر علوم از قبیل: هنر، علوم طبیعی ، علوم اجتماعی و . . .مد نظر قرار می گیرد. در این مقاله به این دو عامل مهم یادگیری که طرح مساله و کاربرد های ریاضی است می پردازیم. در حقیقت مساله عامیانه ای مطرح می شود و روش حل اشتباه ولی به ظاهر درستی بیان می شود و در آخر، کاربرد یک مبحث ریاضی در روش حل آن ارائه می شود.

کلمات کلیدی: طرح مسأله ریاضی، کاربردهای ریاضی، مهارت حل مسأله، اصل شمول و عدم شمول

.۱ مقدمه

تعریف حل مسألهی ریاضی، تولید مسائل جدید و صورتبندی مجدد مسائل موجود است(سیلور .([۱]۱۹۹۴ سیلور سه نوع طرح مسأله را- به نامهای طرح مسالهای که در قبل، حین یا بعد از حل مسأله رخ میدهد- مشخص کرده است. تعریف سیلور به این امر اشاره میکند که لازم است طرح مسأله ریاضی را در هر گونه بحث و گفتوگو درباره حل مسأله ریاضی در نظر بگیریم.

در برخی کشور ها، چارچوب برنامهی درسی ریاضی بر حل مسأله ریاضی متمرکز است. از جمله اهداف برنامه درسی این است که دانش آموزان قادر به “صورتبندی” و حل مسائل باشند. هم چنین، تکلیفهای طرح مسأله در کتابهای درسی مورد استفاده در مدارس ایج است( به عنوان مثال فونگ[۲]، راما کریشنان[۳] و گان[۴]،.(۲۰۰۷

مزایای استفاده از تکلیف های طرح در کلاس های درس ریاضی در تمام پایه ها بررسی شده است و نمی توان نادیده گرفت که چنین تکلیف هایی می توانند بر سایر ویژ گی های دانش آموزان و دانشجویان تاثیر بگذارند از جمله بر استعداد ریاضی، شامل درک و فهم و توانایی حل مساله، طرز تلقی ها نسبت به ریاضی مانند کنجکاوی و علاقه، احساس مالکیت نسبت به کار خود (انگلیش[۵]، a1997؛ گروندمیر[۶]، ۲۰۰۲؛ کنوت[۷]، ۲۰۰۲؛ پرین[۸]، .(۲۰۰۷

طرح مسأله ریاضی و حل مسأله

ارتباط بین طرح مسأله ریاضی و طرح مسأله، موضوع بسیاری از مطالعات پژوهشی بوده است. در یک سری پژوهش های متوالی دربارهی دانش آموزان پایههای سوم، پنجم و هفتم در استرالیا، انگلیش روابطی بین طرح مسأله و حل مسأله پیدا کرد. بهویژه، او نشان داد که توانایی طرح مسائل پیچیده محاسباتی- اما نه لزوما مسائلی با ساختار پیچیده- با حل مسأله معمولی در ارتباط است. توانایی در حل مسألههای بدیع با طرح مسائلی با ساختار پیچیده در ارتباط است.

.۲ آموزش حل مسأله

آیا حل مسأله آموزش دادنی است؟ یکی از دلایل فقدان طرحی برای آموزش حل مسأله به دانش آموزان و دانشجویان، این است که آموزشگران ریاضی تا چندین سال پیش معتقد بودند که حل مسأله آموزش دادنی نیست بلکه یک هنر یا ویژگی و توانایی است که بعضی از انسانها دارند و بعضی ندارند. بنابراین هیچ کس تلاش برای حل مسأله به شاگردان نمی کرد. اما تعداد کسانی که درمورد آموزش حل مسأله تحقیق می کنند بیش تر است .

یکی از افرادی که در مورد چگونگی حل مسأله و آموزش آن تحقیق کرد جرج پولیا است. حاصل کار او در کتاب »چگونه مسأله حل کنیم« منتشر شد. مرحوم احمد آرام این کتاب را ترجمه کرده است. او در مقدمه ی کتاب خود می گوید: » من یک ریاضیدان هستم. متخصص آموزش ریاضی نیستم، اما علاقمندم بدانم چرا من می توانم مسأله ریاضی را حل کنم و دیگران نمی توانند؟ چرا بعضی از دانشجویان مسأله ریاضی را حل می کنند ولی بعضی نمی توانند؟ او همین سؤال ها را دنبال کرد مدل چهار مرحله ای برای تفکر حل مسأله ارائه کرد.

۱-۲ مهارت حل مسئله (مدل چهار مرحله ای پولیا)

فرایند تفکر حل مسأله برای افراد مختلف متفاوت است. در سال ۱۹۴۵ جورج پولیا با نوشتن کتاب (How to solve it) برای اولین بار مدل یا چارچوبی برای حل مسئله ارائه داد. پولیا تلاش کرده تفکر حل مسأله را به نوعی مدل سازی کند .او الگویی چهار مرحله ای را مطرح کرده است. در فرایند حل مسأله این چهار مرحله چهار گام طی می شوند تا یک مسأله ریاضی به طور کامل حل شود. مدل چهار مرحله ای او به این مشکل است:

الف. فهم سؤال ب. تهیه طرح یا نقشه پ. اجرای طرح ت. بازنگری

که به طور خلاصه هر کدام را به صورت زیر می توان توضیح داد:

الف. فهمیدن مسئله

پاسخ به پرسشی که فهمیده نشده کاری عبث و بیهوده می باشد لذا باید از افتادن چنین اتفاقی در کلاس جلوگیری شود و علاوه بر آن میل به پاسخ را در دانش آموز و دانشجوبان ایجاد کنند. بنابراین ابتدا معلم با استاد باید از شاگرد بخواهد مسئله را بصورت روان بیان کند و سپس مشخص کند که مسئله از نوع (ثابت کردنی) یا (پیدا کردنی) است. لذا شاگرد باید بتواند بخش های اصلی مسئله که مجهول و داده ها و شرط است بیان کند. بنابراین معلم یا استاد نباید پرسش های زیر را فراموش کند : مجهول چیست؟ داده ها کدام است؟ شرط چیست؟ آیا تحقق یافتن شرط مسئله امکان پذیر است؟ آیا شرط مسئله برای تعیین مجهول کفایت می کند؟ یا این که شرط مسئله کافی است؟ آیا شرط مسئله زائد است؟ آیا در شرط مسئله تناقض است؟ حال می توان به شاگردان پیشنهاد داد که : در صورت امکان شکلی رسم کنید علائم مناسب را به کار ببرید قسمت های مختلف شرط را از هم جدا کنید به منابع دیگر برای یافتن لغات و عبارت های کلیدی رجوع کنید.

ب. تهیه طرحی مناسب برای مسئله:

در اینجا از شاگرد خواسته شود ارتباط میان داده ها و مجهول را پیدا کند و در صورت نیافتن ارتباط مستقیمی میان داده ها و مجهول مسئله های کمکی را در نظر بگیرد تا بتواند برای حل مسئله نقشه ای طرح کند لذا سئوالات زیر برای طرح نقشه، توسط شاگرد می تواند مفید باشد. در این جا مسئله ای وابسته به مسئله شما وجود دارد که قبل از این حل شده است آیا می توانید آنرا به کار ببرید؟ آیا می توانید روش به کار رفته در آن را در این مسئله به کار ببرید؟ آیا باید یک عنصر کمکی را وارد کنید تا به کار بردن آن را ممکن سازد؟ آیا می توانید صورت مسئله را به صورت دیگری بیان کنید؟ اگر نمی توانید مسئله طرح شده را حل کنید ابتدا به حل کردن مسئله وابسته به آن بپردازید. آیا می توانید مسئله وابسته را که بیشتر در دسترس باشد تحلیل کنید؟ با یک مسئله کلی تر؟ با یک مسئله خاص تر؟ با یک مسئله مشابه؟ آیا می توانید یک قسمت از مسئله را حل کنید؟ تنها یک جزء از شرط را نگاه دارید. و باقی آن را کنار بگذارید در این صورت مجهول تا به چه اندازه معلوم می شود و چگونه تغییر می کند؟ آیا می توانید از داده ها چیز سودمندی استخراج کنید؟ آیا داده های دیگری به فکر شما خطور می کند که بتواند برای به دست آوردن مجهول سودمند باشد؟ آیا می توانید مجهول با داده ها یا در صورت لزوم هر دو را چنان تغییر دهید که مجهول تازه و داده های تازه به یکدیگر نزدیکتر باشند؟ آیا همه داده ها را به کار برده اید؟ آیا همه شرط ها را به کار برده اید؟ آیا همه مفاهیم اصلی مندرج در مساله را بکار برده اید؟ چند نمونه از استراتژی های که در طول حل مساله ممکن است بکار روند بقرار زیر می باشد: تهیه مدل یعنی رسم الگوی مشابه یا منحنی متناسب با موقعیت مسأله، تهیه فهرست جدول ها و منحنی های منظم و سازمان یافته و جستجو برای الگو

۳

کارکردن برعکس انتخاب های نمادهای مناسب، مشخص کردن اطلاعات داده شده مورد احتیاج و خواسته شده نوشتن یک معادله یا یک فرمول حل ساده تر و مرتبط با مساله داده شده، تقسیم یک مسأله به زیر مسأله های مختلف و حل هر کدام از آنها استفاده از استدلال استنتاجی کنترل فرضیه های پنهان در صورت مساله حدس یک جواب و آزمایش آن تغییر نحوه نگرش به مساله (تغییر دیدگاه).

پ. اجرای طرح (نقشه):

پس از آنکه طرح مناسب برای حل مساله تهیه شد باید آن را به مورد اجرا گذاشت. شخص باید نظارت کامل به پیشرفت اجرای طرح داشته باشد تا اگر زمانی احساس کند که طرح کشیده شده او را به هدف که همان حل مساله می باشد رهنمون نکند بتواند طرح جدیدی را تهیه و اجرا بکند. سوالاتی که در ضمن اجرای نقشه معلم می تواند از شاگرد بپرسد بصورت زیر می باشد. آیا طرحی که تهیه کرده اید شما را به حل مساله هدایت می کند؟ آیا لازم است که طرح فعلی را کنار گذاشته و طرح جدیدی تهیه کند؟آیا برای اجرای طرح خود به اطلاعات اضافه تر یا کمک دیگران نیازمند می باشید؟

ت. بازنگری:

امتحان کردن جوابی که بدست آمده است. پس از پایان اجرا، حل کننده مساله باید بازنگری بر تمامی مراحل اجرای طرح داشته باشد.

.۲-۲ طرح مساله:

میخواهیم تعداد ساعت هایی که دانش آموزان در طول یک سال تحصیلی در مدرسه هستند را محاسبه کنیم.

برای این منظور ابتدا به محاسبهی تعداد ساعت ها یا روزهایی که دانشآموزان در مدرسه نیستند میپردازیم و از ۳۶۵ روز کم می کنیم.

کار هایی که دانش آموزان در اوقات خارج از مدرسه انجام می دهند، فعالیت هایی نظیر خواب، تکالیف مدرسه و کلاس های آموزشی، صرف غذا و کارهای شخصی، تماشای تلویزیون و انجام سرگرمی و بازی با موبایل می باشند. در ذیل به محاسبه تعداد ساعت های انجام این فعالیت ها می پردازیم.

اگر فرض شود که دانش آموزان روزانه ۷ ساعت بخوابند. درهفته آنها ۴۹ ساعت یا تقریبا ۲ روز کامل می خوابند. بنابراین در ماه ۸ روز و در سال ۹۶ روز کامل وقت آنها برای خوابیدن سپری می شود.

روزانه ۷ ساعت خواب
یک هفته ۴۹ = ۷* ۷ ساعت ۲ ≈ روز کامل

یک ماه ۸ = ۴* ۲ روز کامل
یک سال ۹۶ = ۸* ۱۲ روز کامل

بنابراین ۹۶ روز کامل از سال وقت دانش آموزان صرف خوابیدن می شود.

حال فرض شود که دانش آموزان روزانه ۳:۳۰ ساعت از وقتشان را صرف درس، تکالیف مدرسه، علایق و کلاس های آموزشی کنند. پس در هفته آنها ۲۴ : ۳۰ ساعت یا تقریبا ۱ روز کامل را برای این فعالیت ها اختصاص میدهند و در یک ماه ۴ روز کامل و در نتیجه برای ۱ سال ۴۸ روز کامل بدست می آید.

روزانه ۳:۳۰ ساعت برای درس، تکالیف مدرسه، علایق و کلاس های آموزشی
یک هفته ۷ ۲۴:۳۰ = ۳:۳۰* ساعت ۱ ≈ روز کامل
یک ماه ۴ = ۴* ۱ روز کامل
یک سال ۴۸ = ۴*۱۲ روز کامل
بنابراین ۴۸ روز کامل از سال وقت دانش آموزان برای درس، تکالیف مدرسه، علایق و کلاس های آموزشی می گذرد.

در آخر فرض شود که دانش آموزان روزانه ۲:۳۰ ساعت از وقتشان را برای غذا، ۲ ساعت برای سرگرمی و موبایل و ۱ ساعت برای کارهای شخصی بگذرانند، که در مجموع روزانه ۵:۳۰ ساعت را صرف کارهای مذکور می کنند. پس در هفته آنها ۳۸:۳۰ ساعت یا تقریبا ۱/۵ روز کامل و در یک ماه ۶ روز کامل و یک سال ۷۲ روز کامل را به این صورت می گذرانند.

روزانه ۵:۳۰ ساعت برای غذا، سرگرمی و موبایل و کارهای شخصی
یک هفته ۷ ۳۸:۳۰ = ۵:۳۰* ساعت ۱/۵ ≈ روز کامل
یک ماه ۶ = ۴* ۱/۵ روز کامل
یک سال ۷۲ = ۶*۱۲ روز کامل
بنابراین ۷۲ روز کامل از سال وقت دانش آموزان برای غذا، سرگرمی و موبایل و کارهای شخصی سپری می شود.

Facebook Twitter Google+ LinkedIn Pinterest Print